Mengenlehre

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Was ist eine Menge

Definition
Grün rufezeichen.png
Eine Menge $A$ ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen. Die Elemente können dabei Zahlen, Objekte, Personen usw. sein.
  • Die Anzahl der Elemente in einer Menge bezeichnet man als Mächtigkeit, formal: $\vert A \vert$
  • Ist ein Element $x$ in der Menge $A$ enthalten, so gilt $x\in A$ ("$x$ ist Element von $A$")
  • Ist ein Elment $y$ NICHT in der Menge $A$ enthalten, so gilt $y\not\in A$ ("$y$ ist nicht Element von $A$")



Bsp.png

In einer Spielgruppe können die Kinder in der Menge $A$ angegeben werden: $$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$ Geben Sie die Mächtigkeit der Menge an.

Die Mächtigkeit ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Somit ist $\vert A\vert=6$


Übung zur Definition einer Menge
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Darstellung von Mengen

Mengen-/Venn-Diagramme

Um eine Menge grafisch zu veranschaulichen, verwenden wir Mengendiagramme. Diese werden auch Venn-Diagramme genannt, da die Verwendung solcher Diagramme vom britischen Mathematiker John Venn eingeführt wurde.

Darstellung eines Venn-Diagramms der Menge A={a, b, c, d, e, f}



Bsp.png

Gegeben ist die Menge $A$ mit $$A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$$ Stellen Sie die Menge in einem Mengendiagramm grafisch dar.

Venn-Diagramm der Menge A.


Darstellung im aufzählenden Verfahren

Beim aufzählenden Verfahren werden die Elemente einer Menge innerhalb von so genannten Mengenklammern, $\{$ und $\}$, aufgezählt.

z.B.: $A=\{Anna,\ Peter,\ Sandra,\ Lukas,\ Julia,\ Andreas\}$


Darstellung im beschreibenden Verfahren

Beim beschreibenden Verfahren werden die gemeinsame Eigenschaft der Elemente beschrieben.

aufzählendes Verfahren Mengendiagrammm beschreibendes Verfahren
M={Frühling, Sommer, Herbst, Winter}
bsp2-mengenl.png
M ist die Menge der Jahreszeiten eines Jahres.
B={1,2,3,4,5}
bsp3-mengenl.png
$$B=\{x\in \mathbb{N}\vert 1\leq x\leq 5\}$$

$$\textrm{"B ist die Menge aller x aus den natürlichen Zahlen, für die gilt,}\\ \textrm{dass x größer gleich 1 und kleiner gleich 5 ist"}$$

Mengenoperationen

Teilmenge und leere Menge

$B\subseteq A$, d.h. B ist Teilmenge von A

Teilmengen sind Mengen, die aus einem Teil aller Elemente einer anderen Menge bestehen. Formal definiert gilt:


Definition
Grün rufezeichen.png
Eine Menge B ist eine Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus B auch ein Element aus A ist.

Formal: $B \subseteq A$


Bsp.png

Gegeben ist Menge $A$ einer Spielgruppe mit $A=\{Anna, Peter, Sandra, Lukas, Julia, Andreas\}$. Gib die Teilmenge $B$ von $A$ an, die alle weiblichen Kinder beinhaltet.

$$B=\{Anna, Sandra, Julia\}$$
Die Teilmenge B beinhaltet einen Teil der Elemente aus A.


Übung zur Definition einer Teilmenge
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Eine Teilmenge jeder Menge ist die sogenannte leere Menge $\varnothing$:


Definition
Grün rufezeichen.png
Leere Menge $\varnothing$

Die leere Menge $\varnothing$ beinhaltet kein Element, sie ist leer.

Es gilt:

  • $\varnothing=\{ \ \}$
  • $\vert \varnothing \vert=0$





Durchschnitt von Mengen: "und"-Operation

Die Schnittmenge $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente, die in beiden Mengen liegen.


Definition
Grün rufezeichen.png
Der Durchschnitt zweier Mengen $A\cap B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die sowohl in $A$ auch in $B$ einthalten sind






Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$.
  • Interpretiere die Durschnittsmenge.


Bestimme die Durschnittsmenge (="Schnittmenge") von $S$ und $M$

Die Schnittmenge beinhaltet alle Elemente, die in beiden Elmenten vorhanden sind. Somit gilt: $$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$$

Schnittmenge $A\cap B$

Interpretiere die Durschnittsmenge.

$S\cap M=\{Julia,\ Peter\}$ bedeutet, dass nur Julia und Peter in beiden Vereinen Mitglieder sind.


Übung zur Schnittmenge
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Vereinigung von Mengen: "oder"-Operation

Die Vereinigungsmenge $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente, die in einer der beiden oder in beiden Mengen liegen.
Definition
Grün rufezeichen.png
Die Vereinigung zweier Mengen $A\cup B$ beinhaltet alle Elemente zweier Mengen $A$ und $B$, die
  • in $A$ enthalten oder
  • in $B$ enthalten oder
  • in $A$ und $B$ enthalten sind.






Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmfereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$.
  • Interpretiere die Vereinigungsmenge.


Bestimme die Vereinigungsmenge von $S$ und $M$

Die Vereinigungsmenge beinhaltet alle Elemente der beiden Mengen. Somit gilt: $$S\cup M=\{Andreas,\ Anna,\ Anton,\ Julia,\ Leo,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra,\ Sebastian,\ Simon\}$$

In der Vereinigungsmenge $A\cup B$ liegen alle Elemente aus $S$ und $M$.


Interpretiere die Vereinigungsmenge.

In $S\cup M$ sind alle Personen, die im Schwimmverein oder im Musikverein oder in beiden Vereinen sind.


Übung zur Vereinigungsmenge
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Differenzen von Mengen: "ohne"-Operation

Differenzenmenge $A\setminus B$ ("A ohne B")


Definition
Grün rufezeichen.png
Die Differenzmenge $A\setminus B$ (sprich: „A ohne B“) zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente aus A, die nicht zu B gehören.



Bsp.png

In einem Ort gibt es einen Schwimm- und einen Musikverein. Die Mitglieder des Schwimmvereines sind in der Menge $S$ enthalten. Jene des Musikvereins in der Menge M. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ $$M=\{Anton,\ Julia,\ Leo,\ Melina, Peter,\ Sebastian,\ Simon\}$$

  • Bestimme die Menge $S\setminus M$.
  • Interpretiere $S\setminus M$.


Bestimme die Differenzenmenge $S\setminus M$

Die Menge $S\setminus M$ beinhaltet alle Elemente von $S$, die nicht in $M$ enthalten sind. Somit gilt: $$S\setminus M=\{ Andreas,\ Anna,\ Lukas,\ Sandra\}$$

In der Differenzenmenge $S\setminus M$ sind alle Elemente aus $S$, die nicht in $M$ sind.


Interpretiere die Menge.

In $S\setminus M$ sind alle Personen, die nur im Schwimmverein und im Musikverein sind.


Übung zur Differenzenmenge
Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke [https://www.geogebra.org/m/m8YW2SjK hier




Komplementärmenge $\bar{A}$ - "alles außer"-Operation

$\bar{B}=A\setminus B$


Definition
Grün rufezeichen.png
Gegeben sei eine Menge $A$ und eine Teilmenge $B$, mit $B\subseteq A$.

Die Komplementärmenge $\bar{B}$ beinhaltet alle Elemente, die nicht in $B$ liegen. $$\bar{B}=A\setminus B$$





Bsp.png

In einem Ort gibt einen Musikverein. Die Mitglieder des Musikvereins sind in der Menge M angegeben. $$S=\{ Andreas,\ Anna,\ Julia,\ Lukas,\ Peter,\ Sandra\}$$ Die Menge $B$ ist eine Teilmenge von $M$ und beinhaltet alle Mitglieder des Vereins, die ein Blasinstrument spielen. Es gilt $$B=\{Anna,\ Lukas,\ Peter\}$$

  • Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$.
  • Interpretiere $\bar{B}$.


Bestimme $\bar{B}$, die Komplementärmenge zu $B$

Die Menge $\bar{B}$ beinhaltet alle Elemente von $M$, die nicht in $B$ enthalten sind. Somit gilt: $$\bar{B}=\{ Andreas,\ Julia,\ Sandra\}$$

Komplementärmenge $\bar{B}=A\setminus B$


Interpretiere die Menge.

In $\bar{B}$ sind alle Personen des Musikvereines, die KEIN Blasinstrument.



Überblick

Symbol Bedeutung Grafik
$$\subseteq$$ Teilmenge $B\subseteq A$
"B ist Teilmenge von A"
intro-teilmenge.png
$$\cap$$ Schnittmenge $A\cap B$
"sowohl in A als auch in B"
intro-schnitt.png
$$\cup$$ Vereinigungsmenge $A\cup B$
"in A oder in B oder in beiden"
intro-vereinigung.png
$$\setminus$$ Differenzenmenge $A\setminus B$
"A ohne B"
intro-differenz.png
$$\bar{B}$$ Komplementärmenge
"alles außer B"
intro-kompl.png


$Aha!$ Unter diesem Link findest du ein Applet, das dir noch einmal die Mengenoperationen graphisch anzeigt.


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